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질문 No. 1329, 답변 No. 1332 가능해요~
글쓴이 : 조엘통찰수학 작성 시간: 2017.03.16 00:10
질문 출처:
조회 : 185
질문 정답: 972
Q:
19를 n1+n2+...+nk (단, n1, n2, ..., nk는 자연수) 꼴로 나타낼 때, n1×n2×...×nk의 최댓값을 구하는 문제에서 

5를 분할할 때는 5=3+2일 때, 
6을 분할할 때는 6=3+3일 때, 
7을 분할할 때는 7=3+2+2일 때 곱이 가장 크므로 
곱이 최대일 때는 자연수가 2 또는 3으로 분할할 때라고 나와 있습니다. 
(다만 분할 중 2+2+2는 포함하지 않는 경우라 합니다. 2+2+2=3+3이지만 2×2×2<3×3이기 때문)

따라서 19=3+3+3+3+3+2+2일 때 곱이 최대라고 합니다. 

그런데 5, 6, 7의 경우만 해 보고 2 또는 3으로 분할할 때 곱이 최대라고 단정지어도 되나요? 그리고 이건 모든 자연수의 분할에 적용할 수 있는 건가요? 예를 들어 304의 분할 중 3+3+...+3+2+2일 때 곱이 최대라는 걸 바로 알 수 있나요? 
               /_______/
                   100개
A:

   오늘 제가 멀리 나와 있어서 스마트 폰으로 남깁니다. ^^;
   5  이상의 자연수 n에 대하여
   3(n-3)-n=2n-9>0 이므로 
   n이 5 이상이면 n보다는 무조건 3(n-3)이 더 큽니다.
   따라서 19를 최대한 3이 많이 나오도록 나눈 후에 곱하는 것이 큽니다.
   물론, 2를 세 번 곱하는 것보다는 3을 두 번 곱하는 것이 크고
   4는 2를 두 번 곱한 것으로 대체 가능합니다.
   이 주제는 중등부 경시에 많이 나오는 것으로
   교과 내용과는 다소 거리가 있습니다.
   오늘은 제가 문항 출처를 알아서 답변해 드렸지만
   앞으로는 꼭 형식을 갖춰주세요~
   출처를 명시하셔야 됩니다.
   그리고 정교재만 질문 가능합니다~ ㅎ

   조엘통찰수학 연구실장 김정연 올림.



 
   
 

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